1. Buktikan secara langsung dan kontradiksi bahwa untuk semua bilangan bulat,
Jika bilangan ganjil dikali bilangan genap adalah genap!
Jawab:
Pembuktian langsung
Hipotesis 1 : P à Q
Aganjil x Bgenap Genap
Hipotesis 2 : P = Aganjil x Bgenap
= (2n+1) x 2m
= 4mn +2m
= 2(2mn +m)
Misal m = 1 , n = 2 maka
2(2mn+m) = 2(2(1)(2)+1)
= 2(5)
= 10 è genap
Karena 2(2mn+m) hasilnya genap maka 2(2mn+m) = 2k
Jadi Aganjil x Bgenap = genap benar
Kontradiksi
Hipotesis 1 : P à Q
Aganjil x Bgenap Genap
Hipotesis 2 : P = Aganjil x Bgenap à ganjil (salah)
= (2n+1) x 2m
= 4mn +2m
= 2(2mn +m)
= 2k
Misal m = 1 , n = 2 maka
2(2mn+m) = 2(2(1)(2)+1)
= 2(5)
= 10 è genap
Karena Aganjil x Bgenap hasil nya ganjil salah
maka
Aganjil x Bgenap adalah genap
2. 2. Buktikan secara langsung dan kontradiksi bahwa untuk semua bilangan bulat,
Jika hasil kali dua bilangan genap adalah genap!
Jawab:
Pembuktian langsung
Hipotesis 1 : P à Q
Agenap x Bgenap Genap
Hipotesis 2 : P = Agenap x Bgenap
= 2m x 2n
= 4mn
= 2(2mn)
Misal m = 1 , n = 2 maka
2(2mn+m) = 2(2(2)(4))
= 2(16)
= 32 è genap
Karena 2(2mn) hasilnya genap maka 2(2mn) = 2s
Jadi Agenap x Bgenap = genap benar
Kontradiksi
Hipotesis 1 : P à Q
Agenap x Bgenap Genap
Hipotesis 2 : P = Agenap x Bgenap à ganjil (salah)
= 2m x 2n
= 4mn
= 2(2mn)
= 2s
Misal m = 1 , n = 2 maka
2(2mn+m) = 2(2(2)(4))
= 2(16)
= 32 è genap
Karena Agenap x Bgenap hasil nya ganjil salah
maka
Agenap x Bgenap adalah genap
3. X adalah genap, buktikan bahwa penjumlahan 2 X adalah genap
Jawab:
Langsung:
Hipotesis 1: P è Q
X1+X2 genap è genap
Hipotesis 2 : X1 + X2 genap
= 2r + 2s
=2 ( r+s)
= 2 k è genap
Jadi penjumlahan dua bilangan genap samadengan genap
Kotradiksi:
Hipotesis 1: P è Q
X1+X2 genap è genap
Hipotesis 2: ~(P è Q) >> SALAH
X1+X2 genap è ganjil >> salah
Jadi karena X1+X2 genap bukanlah ganjil maka A+B genap adalah genap
4. Jika R adalah ganjil, dan S adalah ganjil, buktikan bahwa 2 RS bukanlah genap
Jawab :
Langsung:
Hipotesis 1: P è Q
2( Rganjil x Sganjil) è ~genap
Hipotesis 2: 2 (Rganjil x Sganjil)
2 ( (2r + 1)(2s + 1))
2 (4rs+2r+2s+1)
2(2(2rs+r+s)+1)
2 (2 n + 1)
2 z >> genap
Jadi karena jumlah 2RS bukanlah tidak genap, maka 2RS adalah genap
Kontradiksi:
Hipotesis 1:P è Q
2(Rganjil x Sganjil) è ~genap
Hipotesis 2 :~(P è Q)
2(Rganjil x Sganjil) è genap
2((2r + 1)(2r+1))
2(4rs+2r+2s+1)
2(2(2rs+r+s)+1)
2 ( 2 n + 1)
2 k >> genap
Jadi karena jumlah 2RS adalah genap, maka 2RS bukanlah tidak genap
5. Buktikan secara langsung dan kontradiksi bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n adalah bilangan ganjil, maka n2 adalah bilangan ganjil !
Jawab :
Pembuktian Langsung:
Hipotesis 1 : P à Q = n ganjil à n 2 ganjil
Hipotesis 2 : P = 2 k + 1
Kesimpulan : Q = ( 2 k + 1 ) 2
= 4 k 2 + 4 k + 1
= 2 ( 2 k 2 + 2 k ) + 1 à m = 2 k 2 + 2 k
= 2 m + 1
Jadi, jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil (P à Q) adalah benar.
Pembuktian Tak Langsung:
Kontradiksi:
Hipotesis 1 : P à Q = n ganjil à n 2 ganjil
Hipotesis 2 : ~ ( P à Q ) = n ganjil à n 2 genap
= 2 k + 1 à ( 2 n ) 2 (Salah)
Kesimpulan : Q = ( 2 k + 1 ) 2
Karena n2 adalah bilangan genap, kontradiksi dengan n2 adalah bilangan ganjil.
Jadi, jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil (P à Q) adalah benar.
6. Tuliskan Hipotesis 1 dan Hipotesis 2 serta Kesimpulan dari metode pembuktian langsung dan metode pembuktian tidak langsung baik secara kontradiksi maupun secara kontraposisi !
Jawab :
Pembuktian Langsung:
Hipotesis 1 : P à Q
Hipotesis 2 : P
Kesimpulan : Q
Pembuktian Tak Langsung:
Kontradiksi:
Hipotesis 1 : P à Q
Hipotesis 2 : ~ ( P à Q ) salah
Kesimpulan : Q
Kontraposisi:
Hipotesis 1 : P à Q
Hipotesis 2 : ~ Q à ~ P
Kesimpulan : Q
7. buktikan penjumlahan 2 bilangan ganjil hasilnya genap!
jawab: langsung=>
->hipotesis 1 : p => q
a + b ganjil => genap
-> hipotesis 2 : a ganjil + a ganjil
-> ganjil : (2n+1)
hipotesis 2 : a ganjil + b ganjil
(2n+1) + (2n+1)
=(2p+1) + (2q+1)
= 2p + 2q + 2
= 2(p + q + 1)
= 2k
karena a + b ganjil = 2k sama dengan genap, maka hasilnya pasti bilangan genap
kontradiksi =>
->hipotesis 1 : p => q
a + b ganjil => genap
->hipotesis 2 : a + b ganjil => ganjil
jadi, karena a ganjil + b ganjil = ganjil salah, maka kesimpulannya
aganjil + b ganjil = genap.
kontraposisi =>
-> hipotesis 1 : p => q
a + b ganjil => genap
->hipotesis 2: ~q => ~p
ganjil => a genap + b genap
2n+1 => 2k + 2j
2n+1 => 2(k + j)
2n+1 ≠ 2n
hipotesis 2 salah maka kontraposisi tidak dapat digunakan untuk membuktikan.
8. Hasil kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil
jawab:
->langsung
a ganjil x b ganjil => c ganjil
hipotesis 1 : p => q
a x b ganjil => ganjil
ganjil : (2n + 1)
hipotesis 2 : a ganjil x b ganjil
(2r+1) x (2s+1)
4rs + 2r + 2s + 1
2(2rs + r + s) + 1
2 (n + 1) -> ganjil
-> kontradiksi
hipotesis 1 : p => q
a x b ganjil => ganjil
hipotesis 2 : a x b ganjil => genap
maka kesimpulannya adalah a x b ganjil ≠ genap.
-> kontraposisi
hipotesis 1 : p => q
a x b ganjil => ganjil
hipotesis 2 : ~q => ~p
genap => a x b genap
2n => 2k x 2j
2n => 4kj
2n => 2(2kj)
2n => 2k
karena hipotesis 2 bernilai benar maka
a ganjil x b ganjil adalah ganjil
9. Buktikan secara langsung dan kontradiksi bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n adalah bilangan genap, maka n2 adalah bilangan genap !
Jawab :
Pembuktian Langsung:
Hipotesis 1 : P à Q = n genap à n 2 genap
Hipotesis 2 : P = 2 a
Kesimpulan : Q = ( 2 a ) 2
= 4 a 2 + 4 a + 1
= 2 ( 2 a 2 + 2 a ) + 1 à m = 2 a 2 + 2 a
= 2 m + 1
Jadi, jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil (P à Q) adalah benar.
Pembuktian Tak Langsung:
Kontradiksi:
Hipotesis 1 : P à Q = n genap à n 2 genap
Hipotesis 2 : ~ ( P à Q ) = n genap à n 2 ganjil
= ( 2 n ) 2 à 2 k + 1 (Salah)
Kesimpulan : Q = ( 2 n ) 2
Karena n2 adalah bilangan ganjil, kontradiksi dengan n2 adalah bilangan genap.
Jadi, jika n bilangan genap, maka n2 bilangan genap (P à Q) adalah benar.
10. Jika A ganjil dan Z genap , maka buktikan jika 2A x Z bukan lah ganjil
Jawab:
Hipotesa1 = P à Q
2 Aganjil + Zgenap à ~ganjil
Hipotesa2 = 2 A ganjil x Z genap
= 2( 2a+1) x 2 Z
= 8az +4 z
= z(4az+2z)
= z nà genap
Jadi karna hasil ZA x Z ada lah genap maka ZA + Z bukan lah ganjil
Kontradiksi
Hipotesa1 = P à Q
2 Aganjil + Zgenap à ~ganjil
Hipotesa2 = ~(PàQ) à (salah)
= 2 Aganjil + Z genap à ganjil (salah)
= 2 (2a+1) + 2z
= 4a + z + 2z
= 2 (4a+z+2z)
= 2 n à genap
Karna hasil ZA+Z adalah genap, maka ZA + Z bukanlah ganjil
Download file PDF
Tidak ada komentar:
Posting Komentar